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已知集合M={(x,y)lx>0,y>0,x+y=k},其中k为大于0的常数,(1)对任意(x,y),t=xy,求t的取值范围(2)求证:当k>=1时,不等式(1/x-x)(1/y-y)
1人问答
更新时间:2022-12-08 13:59:15
问题描述:

已知集合M={(x,y)lx>0,y>0,x+y=k},其中k为大于0的常数,(1)对任意(x,y),t=xy,求t的取值范围

(2)求证:当k>=1时,不等式(1/x-x)(1/y-y)

蒋登高回答:
  (1)t=xy≤[(x+y)/2]^2=k^2/4所以t∈(0,k^2/4]   (2)用求差法证明.设x-y=p,则4xy=k^2-p^2,   右边-左边   =(k^2-p^2)/(4k^2)-[(xy+1)^2-k^2]/xy   =(k^2-p^2)/(4k^2)-[(4xy+4)^2-16k^2]/(16xy)   =(k^2-p^2)/(4k^2)-[(k^2-p^2-4)^2-16k^2]/[4(k^2-p^2)]   ={(k^2-4)^2(k^2-p^2)-k^2[(k^2-p^2+4)^2-16k^2]}/[4k^2(k^2-p^2)]   =p^2[k^2(k^2-p^2)+16(k^2-1)]/[4k^2(k^2-p^2)]   ∵k^2-p^2=4xy>0,k^2-1≥0,   ∴k^2(k^2-p^2)+16(k^2-1)>0,又p^2≥0   ∴右边–左边≥0,   ∴不等式①成立.
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